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Let I(a) denote the parameterized improper integral:

I(a)=0et2cos(at)dt

Differentiating I(a) yields:

I(a)=0a(et2cos(at))dt

=0tet2sin(at)dt

Now for the remaining integral, applying integration by parts with u=sin(at) and dv=tet2dt yields:

I(a)=IBP12et2sin(at)|0a20et2cos(at)dt

=a20et2cos(at)dt=a2I(a)

Hence we obtain the first order linear differential equation:

I(a)=a2I(a)

경축! 아무것도 안하여 에스천사게임즈가 새로운 모습으로 재오픈 하였습니다.
어린이용이며, 설치가 필요없는 브라우저 게임입니다.
https://s1004games.com

whose solution is:

I(a)=cea2/4

For some constant cR.

As I(0)=0et2dt=π/2 (known as Guassian integral) we get:

I(a)=π2ea2/4

as required.

 

 

 

 

 

 

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