김현태 영국원자력청(UKAEA) 연구원이 핵융합실험장치 ‘제트’의 내부를 설명하고 있다. 컬햄=박정연 기자 hesse@donga.com

핵융합에너지 강국으로 꼽히는 영국이 차세대 핵융합실험장치 선두주자 재탈환을 노리고 있다. 그간 핵융합에너지계 실험장치의 대표주자로 꼽혔던 ‘제트(JET, Joint European Torus)’가 올해 말 40년 동안의 활동을 멈추고 은퇴를 앞둔 시점에서 차세대 장치를 내놓는다. 현존 최대 규모로 건립이 추진 중인 핵융합실험장치 ‘ITER(국제핵융합실험로)’와 다른 방식으로 차별화도 노린다.

영국 런던에서 2시간 가량 떨어진 도시 컬햄에는 영국 핵융합실험장치 개발을 주도하는 기관인 영국원자력청(UKAEA)이 있다. 7월 찾은 UKAEA는 부지 내 공사로 분주했다. UKAEA 관계자는 “핵융합에너지 관련 스타트업 사무실 등이 들어설 예정”이라며 “차후 민간과 기관 간의 협력을 활성화할 것”이라고 말했다. 실제 핵융합에너지 상업화에 대한 UKAEA의 의지가 엿보였다.

핵융합에너지 발전의 ‘대부격 장치’로 불리는 JET는 드넓은 UKAEA 부지 내에서도 한참을 돌아봐야 만날 수 있었다. ‘JET의 방’이라고 이름 붙여진 철문 너머에 자리해 있었다. JET 자체를 볼 수는 없었지만 JET의 구조를 그대로 재현한 실물 크기의 모사물을 자세히 살펴보는 것은 가능했다. 동행한 김현태 UKAEA 연구원은 “JET가 은퇴한 이후에도 내부의 성분이나 그동안의 데이터 등 다양한 분석이 이뤄질 것”이라고 설명했다.

1983년 건설된 제트는 당초 8년 동안 운영될 예정이었지만 예상을 웃도는 성과를 내놓으면서 운영이 연장됐다. 1991년 세계 최초로 중수소와 삼중수소를 통한 플라즈마를 생성하는 데 성공했다. 1997년 중수소와 삼중수소의 핵융합을 통해 21.7메가줄의 열에너지를 생산해냈다. 지난해에는 핵융합 반응 실험을 통해 5초 동안 약 59메가줄(MJ)의 열에너지를 생성하는 데 성공했다.

UKAEA의 핵융합장치 ‘제트’의 모형 내부. 컬햄=박정연 기자 hesse@donga.com

UKAEA는 이제 JET의 뒤를 잇는 후계자 개발에 착수했다. 차세대 핵융합 실험장치의 이름은 ‘스텝(STEP, Spherical Tokamak for Energy Production)’이다. 폴 메스벤 UKAEA 스텝 개발국장은 “스텝은 산업계에 직접적인 영향력을 미칠 정도의 에너지를 생산할 것”이라고 자신감을 표했다. 핵융합에너지계 관심을 한몸에 받고 있는 스텝은 7월 영국 옥스퍼드에서 열린 ‘핵융합공학심포지엄2023(SOFE2023)’에서 처음으로 청사진을 제시했다.

스텝은 현재 핵융합에너지발전장치의 주류로 여겨지는 토카막과는 다른 형태를 취한다. 외부에 전자석이 붙은 도넛 형태 용기에 플라스마를 가두는 토카막과 달리 구(球) 모양이다. 이러한 모양을 갖기 때문에 ‘동그란(Spherical) 토카막 핵융합에너지 발생장치’란 이름이 붙었다. 총 길이는 약 14m 정도가 될 예정이다. 김 연구원은 “완성된 스텝은 마치 사과와 같은 모양을 갖게 될 것”이라고 말했다.

스텝이 취하게 될 토카막 형태는 ‘스페리컬 컬럼’이라 불린다. UKAEA가 스페리컬 컬럼에 주목하는 이유는 핵융합발전장치가 이 형태를 취했을 때 일종의 ‘무한동력’이 발생하기 때문이다.

UKAEA의 핵융합장치 ‘제트’의 실물 크기 모형. 컬햄=박정연 기자 hesse@donga.com

UKAEA가 최근 실시한 연구에 따르면 스페리컬 컬럼 형태는 내부에서 에너지가 위와 아래로 순환한다. 이같은 순환 현상을 통해 ‘24시간 자급자족 발전’이 가능할 수 있다는 설명이다.

김 연구원은 “스텝은 이제 막 구상 단계지만 ITER보다 작은 규모로 디자인됐기 때문에 건설 속도가 빠를 것으로 예상된다”고 말했다. 개발 기간을 단축하기 위해 인공지능(AI)를 활용해 최적의 설계전략을 찾고 있기도 하다.

그는 이어 “도넛 모양 토카막인 ITER와 스텝이 서로 경쟁하면 어느 형태의 토카막 장치가 핵융합에너지 장치 상용화에 적합한지 알 수 있게 될 것”이라고 말했다. 핵융합장치의 새로운 패러다임이 정해질 것이란 설명이다.

제트의 뒤를 잇는 스텝은 최근 부지선정 작업까지 완료했다. 댄 울프 UKAEA 스텝상용화 책임자는 “노팅엄셔주 북부 석탄발전소 부지가 스텝의 새로운 보금자리가 될 것”이라며 “2050년 전 시범가동을 목표로 하고 있다”고 말했다.

JET이 실시하는 실험과 그 결과를 분석하는 모니터링 룸. 컬햄=박정연 기자 hesse@donga.com

[편집자주] 에너지는 경제성장, 국가안보와 직결됩니다. 석유 등 화석연료 기반 에너지원은 일부 국가가 선점하고 있는 데다 탄소중립이라는 전지구적인 도전에 직면하고 있습니다. 핵융합에너지는 꿈의 청정 에너지원입니다. 기술을 주도하는 국가가 에너지 패권 경쟁에서 우위를 점할 것으로 점쳐지고 있습니다. 수십년간 기술 확보를 위한 세계 각국의 노력들이 최근 가시화하고 있습니다. 이미 핵융합에너지 기술을 주도하고 있는 한국도 2050년 핵융합에너지 실증 비전을 최근에 제시했습니다. 동아사이언스는 핵융합에너지 기술 확보를 둘러싼 전세계의 움직임을 짚어보고 기술혁신의 중요성을 공유하기 위해 ‘레디! 퓨전’ 기획 시리즈를 연재합니다.

양형렬 ITER조립팀장이 조립동(어셈블리 홀)에서 이뤄지는 작업들을 소개하고 있다. 카다라슈(프랑스)=박정연 기자 hesse@donga.com

“이 문 너머부터는 실제 장치에 필요한 작업을 수행하기 위한 공간입니다. 직경 30m정도 되는 큰 깡통이 이 문을 통해 드나든다고 생각하면 됩니다.”

지난 7월 방문한 프랑스 남부 카다라슈 소재 국제핵융합실험로(ITER) 조립동은 세계 최대 규모의 핵융합실험로가 만들어지는 공간임을 실감할 수 있었다. 조립이 이뤄지는 공간은 높이 60m, 무게 500t의 거대한 문으로 분리돼 있다. 조립하는 공간의 청결도를 유지하기 위해 외부 작업 공간을 완벽하게 차단한다.

문을 열고 들어선 내부엔 초고온 플라즈마를 가두기 위한 진공용기가 구축된다. 중성자와 열의 유출을 막기 위한 진공용기는 각각 4개의 세그먼트로 구성된 섹터와, 섹터를 감싸는 초전도자석인 TF코일 그리고 열차폐체가 조립된다. 초전도자석은 영하 268도 환경에서 막대한 전기 에너지를 전달한다. 열차폐체는 초고온 플라즈마와 진공용기 밖을 두르고 있는 초저온 상태의 초전도자석을 분리하는 역할을 한다.

총 9개로 나눠진 거대한 섹터를 모두 조립하면 도넛 모양의 토카막 장치가 완전한 모습을 갖추게 된다. 조립동을 총괄하는 양형렬 ITER 조립팀장은 “현재 3개의 섹터에 대한 조립 작업이 이뤄지고 있다”며 “1mm 오차범위 안에서 이뤄져야 하는 작업으로 엔지니어링 관점에서 매우 난이도가 높은 작업이다”라고 말했다.

ITER 조립동과 외부 작업공간을 분리하는 거대한 문. 카다라슈=박정연 기자 hesse@donga.com

● 초대형·초정밀 프로젝트, 주요 장비 제작 주도하는 한국

ITER 장치에서 섹터를 감싸는 초전도자석이 조립작업을 위해 세워져 있다. 카다라슈=박정연 기자 hesse@donga.com

유럽연합(EU), 일본, 러시아, 중국, 인도 등 7개국이 참여하는 현존 최대의 ITER에서 한국은 주도적인 역할을 하고 있다. 총 9개의 섹터 중 4개의 제작을 담당한다. 정밀한 기술력이 요구되는 조립장치도 한국의 기업이 제작했다. 진공용기 장치를 가운데에 매단 채 양쪽에서 초전도자석을 끼우는 이 장치는 아주 작은 오차도 용납되지 않는 정교한 기술력이 필수적이다.

양 팀장은 “무게 중심을 잘 맞춰 미동도 없는 상태를 만드는 것이 중요하다”며 “프랑스의 까다로운 안전기준을 준수해야 하기 때문에 아주 꼼꼼한 공정이 이뤄지고 있다”고 말했다.

조립장에 있는 수많은 장치에는 각기 다른 색의 스티커가 붙어있었다. 양 팀장은 “조립동에서 각국이 조달하는 장비는 각기 다른 색깔이 표시돼 있는데 미국은 노란색, 한국은 회색이다”라고 말했다. 조립동에서 분주하게 작업이 이뤄지고 있는 많은 장비는 회색 스티커가 붙어 있다. 차세대 에너지원이라 불리는 핵융합에너지 개발의 첨단에서 한국의 위상을 가늠할 수 있었다.

석탄에너지와 달리 에너지를 얻는 과정에서 이산화탄소를 배출하지 않는 핵융합에너지는 ‘꿈의 에너지’라 불린다. 막대한 에너지를 만들어내면서도 환경에 부담을 주지 않기 때문에 청정 에너지라 불린다.

핵융합은 중수소와 삼중수소 같은 가벼운 원소의 원소핵들이 결합해 무거운 원자핵으로 변하면서 에너지를 내놓는 현상이다. 태양이 열을 내는 원리와 유사해 ‘인공태양’이라 불린다. 우라늄과 플루토늄 등 무거운 원소를 쪼개 에너지를 내는 핵분열을 통한 원자력 발전과는 반대되는 개념이다.

핵융합 반응이 일어나려면 1억도 이상 초고온 상태의 플라즈마(원자핵과 전자가 분리된 이온 상태)가 필요하다. 태양은 자체 질량과 중력으로 초고온 플라즈마 상태를 스스로 만들지만 지구에서는 1억도의 초고온 플라즈마를 인위적으로 만들어야 한다.

핵융합에너지는 이론적으로 약 1kg의 핵융합 연료로 1000만kg의 화석 연료와 맞먹는 에너지 생산이 가능하다. 삼중수소와 함께 에너지의 ‘연료’가 되는 중수소를 바닷물에서 무한히 얻을 수 있는 점에서 경제성 또한 높을 것으로 기대된다. ITER 제작과 조립에서 주도적인 역할을 하는 한국은 핵융합에너지 분야에서 어느덧 선두국으로 자리잡고 있다.

● 한국기업 납품한 부품 결함 발생…”첫 납품국 불가피한 시행착오, 주요 일정은 이상 無”

ITER 장치에서 초전도자석 외부에 둘러지는 열차폐막이 작업을 위해 고정돼 있다. 카다라슈=박정연 기자 hesse@donga.com

핵융합에너지 생산을 위한 길은 험난하다. 지금까지의 과학기술로 구현하지 못했던 장치를 구현하고 실험에 성공해야 한다. 주요 과학 선진국들이 대거 참여하는 ITER 프로젝트 또한 2006년 공식 출범한 이후 수 차례 일정을 수정했다.

최근에는 플라즈마 생성 실험의 연기가 잠정 결정됐다. 지난해 11월 도넛모양의 장치인 토카막을 구성하는 부품의 결함이 발견되고 인선에 변화가 일어나는 등 예상치 못한 상황들이 겹쳤기 때문이다. 부품결함의 경우 ITER 차원에서 이뤄진 조사 결과 진공용기 안에 존재하는 초고온 플라즈마와 진공용기 밖을 두르고 있는 초저온 상태의 초전도자석을 분리하기 위한 열차폐막에 문제가 있는 것으로 나타났다. 열차폐막의 일부가 부식에 취약해 헬륨이 누설된 것이다. 진공용기 부품의 치수도 원래 설계했던 것과 차이가 있었다. 문제가 발생한 열차폐막은 한국 기업이 납품해 국내 핵융합에너지계가 긴장하기도 했다.

ITER에서 만난 노창현 열차폐막 제조 엔지니어는 “ITER 내부에서 이뤄진 철저한 조사 결과 해당 부품들은 ITER 국제기구가 수행한 설계 단계부터 문제가 있었던 것으로 확인됐다”고 말했다. 그는 “한국의 기업들은 ITER 프로젝트에서 가장 먼저 장비를 납품하고 있는 만큼 예상치 못한 시행착오에 직면하기도 한다”며 “참여국들 중에서도 ‘퍼스트 무버’ 역할을 하면서 감내해야 할 부분이라 생각한다”고 말했다.

학계 일각에선 플라즈마 생성 실험이 연기되면서 ITER 프로젝트가 또한번 거대한 암초에 부딪힌 것이 아니냐는 분석도 나온다. 관련해 캐서린 맥카시 미국 ITER 프로젝트 책임자는 최근 영국 옥스퍼드에서 열린 ‘핵융합공학심포지엄 2023(SOFE 2023)’에서 “부품결함이 연구팀의 예상을 뛰어넘을 만큼 심각한 문제는 아니다”라며 “당초 2026년 예정됐던 플라즈마 생성실험은 다소 지연되겠지만 중수소와 삼중수소(DT)를 결합해 에너지를 생산하는 핵심 실험은 2035년 예정대로 진행할 것”이라고 밝혔다.

프랑스 ITER 본부 로비에 참여국들의 국기가 세워져 있다. 카다라슈=박정연 기자 hesse@donga.com

프랑스의 무더운 여름 속에서 작업에 몰두하고 있던 ITER 관계자들은 매끄럽지만은 않은 ITER의 행보에 대해 ‘의미있는 작업’이라고 말한다. 사비나 그리피스 ITER 홍보담당관은 “여러 국가가 참여하는 ITER 프로젝트의 방식은 효율성이 떨어지는 것도 사실”이라고 말하면서도 “차세대 에너지원인 핵융합에너지 기술 역량을 각국에 함양시키는 데 그 의의가 있다”고 강조했다. 그는 “ITER 프로젝트는 다국적 과학프로젝트가 어떻게 목표를 달성하는지 보여주는 중요한 사례가 될 것”이라고 덧붙였다.

김근경 ITER 기술고문은 “한국핵융합에너지연구원 소속 연구원을 비롯해 많은 한국의 연구자, 기술자들은 ITER에서 핵융합에너지 기술의 핵심 역량을 쌓고 있다”며 “이와는 별개로 대규모 국제프로젝트에 주도적으로 참여한 경험은 향후 다양한 방식으로 과학기술 역량 제고에 기여할 것”이라고 말했다.

주사전자현미경으로 촬영한 맥신. 미국 시카고대 제공

‘꿈의 신소재’로 불리는 나노물질 맥신(MXene)에 대한 관심이 과학기술계 안팎에서 커지고 있다. 높은 전기전도성을 갖추고 여러 금속화합물과 조합할 수 있는 맥신은 반도체, 전자기기, 센서 등 다양한 산업에서 활용될 것으로 기대된다. 특히 최근 국내 연구진이 맥신 대량 생산을 가능하게 할 수 있는 물성 예측 및 분류 시스템을 구축해 상용화 가능성에 대한 기대감이 커지면서 관심은 고조되고 있다. 맥신 생산 기술 발전과 함께 이를 활용할 수 있는 방안에 대한 연구결과도 속속 나오고 있다.

● 친환경 코팅 소재에 전기차 배터리까지 영역 확장
29일 과학계에 따르면 지안홍 마 중국 산시대 교수 연구팀은 맥신에 초음파 처리를 거쳐 광열 내구성 효율과 항균 효과를 높인 가죽 코팅제를 개발한 연구 결과를 국제학술지 ‘엔지니어링’에 21일(현지시간) 발표했다.

맥신은 금속층과 탄소층이 교대로 쌓인 2차원 나노물질로 표면에 덮인 분자 종류와 양에 따라 성질이 달라진다. 지안홍 마 중국 산시대 교수 연구팀은 이러한 특징에 주목해 맥신과 가죽을 활용해 친환경적인 재료 개발에 성공했다. 연구팀은 맥신 표면에 초음파 처리를 거쳐 빛과 박테리아에 대한 내구도를 극대화했다. 그런 뒤 2가지 성질에 친화성을 갖는다는 의미인 ‘양친매성’을 강화해 빛과 박테리아가 맥신 코팅제에 몰리도록 했다. 연구팀은 “이번에 개발된 코팅제는 석유 기반 화학 제품의 대안으로 가죽· 종이·건축 등 다양한 산업 분야에서 쓰일 것으로 전망된다”며  “ 바이오 기반 나노복합코팅 개발에 새롭고 지속 가능한 접근 방법을 제공했다”고 말했다.

맥신은 전기차·에너지저장장치(ESS) 등 수요가 커지는 배터리 분야에서도 활용될 가능성이 제기된다. 후샴 알샤리프 사우디아라비아 킹압둘라 과학기술대(KAUST) 연구팀은 맥신을 활용한 대체 전극재를 사용해 배터리의 성능을 개선할 수 있다는 내용의 연구결과를 지난 5월 국제학술지 ‘스몰’에 발표했다. 연구팀은 연구결과가 차세대 배터리에 들어갈 음극 소재를 합성하는 데 도움이 될 것으로 보고 있다.

이를 위해 레이저 미세 가공 기술로 맥신 입자 내부에 ‘나노도트’라는 층을 생성해 배터리 방전 후 성능이 저하되는 단점을 보완했다. 실험 결과 나노도트가 적용된 맥신으로 전극재를 만든 리튬이온 배터리는 그렇지 않은 맥신 활용 배터리보다 전기 저장 용량이 4배나 큰 것으로 나타났다. 기존의 흑연 기반 배터리와 달리 나트륨이나 칼륨과의 융합도 가능하다는 특성도 확인됐다.

● 대량생산 가능성 알려지며 관심 급증…전문가들 “과도한 관심은 경계”

산업계에서 맥신이 다방면으로 활용되기 위해선 대량생산이 숙제로 남아있다. 이승철 한국과학기술연구원(KIST) 책임연구원 연구팀은 맥신 대량생산 가능성을 제시한 연구 결과를 최근 국제학술지 ‘ACS 나노’에 게재했다.

맥신 표면에 덮인 분자가 불소일 경우 맥신의 전기전도성이 낮아져 전자파 차폐 효율이 떨어지지만 표면 두께가 1nm(나노미터·10억분의 1m)에 불과해 여기에 붙은 분자를 분석하려면 고성능 전자현미경으로도 수일이 소요된다. 이로 인해 지금까지 대량생산이 불가능했다. 연구팀은 표면에 붙은 분자에 따라 전기전도도 또는 자기적 특성이 달라질 것이라는 점에 착안해 2차원 소재의 물성 예측 프로그램을 개발했다. 그 결과 맥신의 자기수송 특성을 계산해 다른 추가 장치 없이도 대기압과 상온에서 맥신 표면에 흡착된 분자의 종류와 양을 분석하는 데 성공했다.

일각에서는 최근 맥신에 대해 지나치게 과열된 관심은 경계해야 한다는 지적도 나온다. 맥신의 다양한 활용법을 확인한 연구 결과들이 나오고 있지만 아직 실험실에서 가능성을 확인한 수준으로 상용화까지는 갈 길이 멀다는 이야기다. 이승철 KIST 책임연구원은 “맥신은 그래핀보다도 얇은 2차원 소재이면서 여러 특성을 나타낸다는 점에서 각광받는 소재 중 하나”라며 “아직 관련 연구가 막 움튼 단계인데 과도하게 큰 관심이 집중되는 것 같아 우려되기도 한다”고 말했다. 맥신에 대해 지나치게 과장된 기대감은 연구자들에게 부담이 되며 또 무리한 연구로 이어질 수도 있다는 것이다. 맥신의 향후 상용화 전망에 대해 그는 “현재 학계에선 맥신을 안정적으로 재현하면서 대규모 생산을 가능하게 하는 연구가 진행 중이다”라며 “상용화 논의는 대규모 생산 기술이 검증된 이후의 이야기”라고 강조했다.

인문학자 이은수 서울대 철학과 교수 (왼쪽), 수학자 이승재 서울대 박사후연구원 (오른쪽). 수학동아 제공

함수는 어떤 값이 주어지면 그에 대응하는 다른 값이 주어지는 관계다. 함수라는 도구가 생기면서 복잡한 문제를 간단히 표현하고 심지어는 앞으로 벌어질 현상을 예측할 수 있게 됐다. 함수가 어떻게 발전했고 좋은 함수란 어떤 것인지 알아보면 함수가 얼마나 일상생활에서도 중요한지를 알 수 있게 된다.

Q(수학자). 함수는 어떤 역사가 있나요.

A(인문학자). “대응 관계와 함수를 구분해서 답해볼게요. 정해지지 않은 두 양, 즉 두 변수의 대응 관계는 오래전부터 연구됐어요. 고대 천문학에 남아있는 자료 중에는 특정 각도의 사인, 코사인 값 등을 계산해 놓은 표가 있어요. 이 표에는 각도와 계산 값 사이의 대응 관계도 담겨 있지요.

하지만 대응 관계라는 설익은 아이디어가 아니라 함수가 하나의 독립적인 수학적 탐구 대상이 된 건 17, 18세기예요. 프랑스 수학자 르네 데카르트(1596~1650)는 자신의 저서 ‘기하학’에서 임의의 두 양이 어떤 식에 의해서 상호 관계를 맺는 상황을 설명했어요. 말하자면 두 변수의 관계를 생각한 것이지요.

이후에 영국의 물리학자이자 수학자인 아이작 뉴턴(1643~1727)은 저서 ‘유율법’에서 서로 관계를 주고받는 여러 운동학적 변수 중에 다른 변수에 영향을 주는 변수를 ‘독립 변수(quantitas correlata)’, 그에 따라 바뀌는 변수를 ‘종속 변수(quantitas relata)’라는 라틴어로 구분해서 표현했어요.”

Q(수학자). 하지만 아직도 함수라는 단어가 나오지 않았어요. 언제 처음 함수라는 단어가 정의됐나요.

A(인문학자). “좋은 질문이에요. 보통 아이디어는 단어를 정의하기 전부터 존재하지만 특정한 단어로 쓰여야 그 뒤에 본격적인 발전이 일어나요. 17세기 말 독일 수학자 고트프리트 라이프니츠(1646~1716)가 남긴 원고를 보면 라틴어 동사 ‘fungor’에서 파생한 명사 funtio를 써서 대응 관계를 나타냈어요.

fungor는 영어로 말하면 perform으로, 한국어로는 ‘기능하다’라는 의미가 있어요. 그리고 이것의 명사 형태가 functio, 복수가 functiones예요. 영어로 바꾸면 함수를 뜻하는 단어인 function이 되지요.

이후 기하학적인 양 사이의 관계뿐 아니라 일반적인 양 사이에서도 함수 개념이 정립돼요. 대표적으로 1718년 ‘과학아카데미 회고록’에 스위스 수학자 요한 베르누이(1667~1748)가 함수를 새로운 수학적 대상으로서 정의한 구절이 다음과 같이 남아있습니다.”

어떤 양(y)이 특정한 방식(a)에 따라 변하는 양(x)과 변하지 않는 양(b)에 의해 구성되는 것( y = ax + b)을 변화하는 크기의 함수라고 부른다. Memoires de l Academie des Sciences 제공

Q(인문학자). 수학에서는 모순이 없고 명확한 것을 가리켜 ‘well-defined(잘 정의됐다)’라고 해요. 함수 중에서도 잘 정의된 함수 소위 말해 좋은 함수가 있을 것 같아요. 좋은 함수가 되기 위한 조건이 있나요.

A(수학자). “함수는 우리가 이해하고 싶은 현상을 얼마나 잘 표현하고 얼마나 잘 예측하는지가 중요해요. 그러니까 기본적으로 예측이 틀린 함수가 나쁜 함수겠지요. 그렇지만 원하는 현상을 함수가 제대로 설명한다고 좋은 함수라고 단정 짓기는 어려워요. 함수 자체가 얼마나 변수들의 관계를 잘 표현하는지를 보여줄 수 있어야 좋은 함수지요.

아주 쉬운 예를 들어볼게요. 독자에게 ‘수학동아’를 한 권씩 나눠준다고 생각해볼게요. 독자가 1명이라면 1권, 10명이라면 당연히 10권을 나눠주면 될 거예요. n명의 독자가 있다면 n권이 필요하겠지요. 이를 함수로 표현하면 f(n) = n이에요.

단순하다고 생각할 수 있지만 여러 가지 의미로 정말 좋은 함수예요. 일단 n에 독자 수를 대입하면 우리가 원하는 값을 얻을 수 있고 식을 봤을 때 ‘이 식은 일대일대응이구나’, ‘우리는 독자 수만큼 책을 준비하면 되는구나’라고 문제를 온전히 이해할 수 있지요.”

Q(인문학자). 결국 우리가 관심 있는 현상을 표현할 수 있고 식을 이해하는 데에도 문제가 없으면 좋은 함수군요. 그런 좋은 함수를 찾는 게 어렵나요.

A(수학자). “정말 어려운 일이에요. 예를 들어 분할 함수는 자연수 n이 있을 때 이 자연수를 다른 자연수의 합으로 표현하는 방법의 가짓수를 찾는 거예요. n이 1, 2, 3일 땐 다음과 같지요.

수학동아 제공

앞의 규칙을 봤을 때 n = 4이면 4가지라고 예측하기 쉬워요. 그런데 n이 4일 때는 4가지가 아니라 5가지가 나와요. 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 3, 4를 비롯해 2 + 2가 하나 더 있습니다.

문제 자체는 이해하기 쉽지만 어떤 자연수 n을 집어넣었을 때 정확한 결과값을 내놓는 함수를 아직 찾지 못했습니다. 인도 수학자 스리니바사 라마누잔(1887~1920)이 최대한 근삿값을 찾을 수 있는 함수를 발견했지만 너무 복잡해요.

과학 혹은 일상생활에서 쓰는 함수는 많은 경우에 관측을 통해 입력값과 결과값을 보며 둘 사이의 관계를 유추한 것인데요. 이런 추론을 위해선 많은 관측값이 필요하고 아무리 관측값이 많아도 절대 정확성을 보장하지 못한다는 단점이 있어요.

예를 들어 1, 2, 4, 8, 16이라는 수열의 다음 값을 한번 예측해보세요. 아마 많은 사람이 32라고 대답하겠지요. x값이 차례로 1, 2, 3, 4, 5일 때 함수가 2의 거듭제곱인 형태, 즉 f(x) = 2x – 1이라고 생각한 결과예요.

그렇지만 ‘원 위에 x개의 점을 놓고 그 점들 사이에 선을 그었을 때 원을 나눌 수 있는 가장 많은 영역의 수’를 표현한 함수 f(x) = (x3 – 6 x2 + 23x – 18) + 1 역시 x = 1, 2, 3, 4, 5일 때 1, 2, 4, 8, 16이지만 x = 6일 때는 32 대신 31이라는 값을 내놓아요.

그러니 단순히 관측값만 가지고 ‘이 함수가 정말 우리 문제를 잘 표현하는 좋은 함수인가?’를 알기란 쉽지 않습니다. 그래서 많은 연구자가 지금까지도 어떤 현상을 정확히 표현하는 좋은 함수, 정확한 함수를 찾는 일을 하고 있지요.”

수학자 이승재 서울대 박사후연구원 (왼쪽), 인문학자 이은수 서울대 철학과 교수 (오른쪽). 수학동아 제공

Q(인문학자). 좋은 함수를 찾는 게 만만치 않은 일이라면 수학자는 한정된 시간 안에서 더 중요한 일에 집중해야 할 텐데요. 그러면 어떤 함수가 중요한 함수일까요.

A(수학자). “‘중요한 함수’를 정의하는 건 ‘좋은 함수’를 정의하는 것보다 더 어려운 문제예요. 굉장히 주관적일 수 있거든요. 그래도 보편적인 기준을 정하자면 역사적인 의미가 있는 함수, 수학뿐만 아니라 인류 문명의 발전에 기여한 함수, 범용적이고 보편적으로 활용할 수 있는 함수가 중요한 함수이지 않을까 싶습니다.

중고등학교 때 배우는 일차, 이차, 삼차 함수는 결국 직선, 포물선 등과 관련있기 때문에 중요하다고 말할 수 있어요. 삼각함수, 로그함수, 지수함수는 실제 물리적인 현상을 기술하고 우리 생활에서 떼려야 뗄 수 없을 만큼 다양한 곳에서 쓰이기 때문에 너무나 중요하지요.

물리학에도 함수가 중요하게 쓰여요. 대표적으로 뉴턴의 운동 제2법칙인 F = ma는 ‘이동하는 물체의 힘(F)은 그 물체의 질량(m)과 가속도(a)에 비례한다’는 물리 법칙을 표현하는 함수예요. 이 함수를 통해 단순히 가속도가 증가함에 따라 힘이 증가하는 것이 아니라 가속도에 비례한다고 정확히 표현할 수 있게 됐지요.

이런 여러 가지 함수의 중요성과 역사에 관심을 가질 분에게 추천하는 책이 있는데요. 이안 스튜어트 영국 워릭대 수학과 교수가 쓴 ‘세상을 바꾼 17가지 방정식’이라는 책입니다. 중요한 함수들에 대한 수학자들, 혹은 과학자들의 생각을 잘 살펴볼 수 있는 좋은 책 중 하나입니다.”

수학자 이승재 서울대 박사후연구원 (왼쪽), 인문학자 이은수 서울대 철학과 교수 (오른쪽). 수학동아 제공

Q(인문학자). 흔히 사칙연산만 하면 사는 데 아무 지장이 없는데 수학을 왜 이렇게 많이 배우냐고 묻는 사람이 있어요. 하지만 함수는 사칙연산 다음으로 도움되는 개념이에요. 곳곳에서 대응 관계를 파악하려는 노력을 많이 볼 수 있거든요.

예를 들어 사람들이 주식에 투자할 때 과거의 데이터로 이익률을 높이는 특정한 함수를 찾아서 막대한 수익을 얻고자 하지요. 이처럼 수학의 많은 개념 중에서는 우리 생활에서 함수가 차지하는 역할이 상당히 커요.

인문학적 관점에서 함수가 남긴 의미를 이야기해볼게요. 함수를 도입하고 난 뒤 사람들은 특정한 개체 및 단독 개념만 탐구하기보다는 두 개체 및 두 개념 사이의 관계를 본격적으로 탐구하기 시작했어요. 그러면서 지식의 확장이 일어났지요. 전혀 관계가 없어 보이는 것 사이에도 우리가 아직 알지 못하고 규명하지 못한 관계가 있다고 생각하게 된 거예요.

최근 실질적인 가치를 창출하는 스마트 데이터와 관련해 다시 주목받는 지식 그래프(개념, 사물, 사건 등의 개체의 관계를 나타내는 그래프로 정보와 지식을 구조화해 표현하는 방법)는 지식과 지식 사이를 연결한 관계망이에요. 기존에 따로따로 떨어뜨려 놓고 생각했던 지식 사이에서 관계를 찾아 연결하는 말하자면 함수적인 사고를 한 것이지요.

사회가 복잡해질수록 특정 개체에 대한 1차원적인 접근으로는 해결할 수 없는 문제가 너무나 많아요. 그래서 고도화된 관계를 이해할 수 있는 능력 자체가 훨씬 중요해졌지요. 그런 의미에서 함수가 우리의 사유하는 방식 자체에 미친 영향이 크다고 생각해요. 연구원님이 생각하기에 수학, 과학에서 함수는 또 어떤 의미에서 중요한가요.

A(수학자). “함수는 세상을 정말 많이 바꿨고 지금도 계속해서 바꾸고 있어요. 과학에서는 먼저 현상을 관측하고 이를 통해 가설을 세우고 그 가설이 사실인지 검증해요. 이때 함수는 관측, 가설, 결과, 예측 모든 것을 연결해요.

기존에 있었던 값으로부터 어떤 관계가 있을지 예상하기 위해서는 그 관계를 표현할 수 있는 함수가 필요하고 예측이 맞는지 확인하기 위해서는 예측값과 결과값이 모두 있어야 하니까요.

인공지능도 수많은 입력값, 결과값을 함께 학습시키고 그렇게 학습된 인공지능이 정말로 우리가 원하는 예측을 할 수 있는지 보는 게 본질이잖아요. 결국 입력값과 결과값을 연결할 수 있는 함수가 무엇이고 그 함수를 우리가 잘 예측하고 학습할 수 있는지가 중요하지요. 인공지능이 지금 세상을 어떻게 바꾸고 있는지 보는 입장이라면 함수가 세상을 바꿨다고도 얘기할 수 있을 것 같아요.

과학 관점에서 추가로 이야기를 드리면 뉴턴은 F = ma와 같은 함수를 이용해서 고전역학이라는 하나의 물리계를 완성했어요. 특히 뉴턴은 고전역학을 정립한 사람으로도 유명하지만 미분이 처음 등장한 ‘프린키피아’라는 책을 쓴 사람으로도 유명하잖아요.

미적분이 함수와 만나면서부터 실제 물리적인 현상을 기술할 수 있는 엄청난 도구들을 손에 쥐게 됐지요. 그다음부터 정말 새로운 세상을 만들어 갈 수 있었습니다. 이밖에도 다양한 함수가 우리가 알고 싶은 세상을 이해할 수 있게 했지요.”