[수학] Sin 1/x 의 극한

함수 $y=\sin \left(1/x\right)$는 $x$가 $0$으로 가까워질 때, 극한값을 가지지 않음을 보여라.

Sol) $x$가 $0$으로 가까워질 때, $\frac{1}{x}$ 한없이 커지거나 작아진다.

$\sin \left(1/x\right)$의 값은 $-1$와 $1$ 사이를 오간다,

함숫값이 한없이 가까워지는 일정한 상수 $L$이 존재하지 않는다.

$x$가 양의 값을 가지며 가까이 갈 때나 음의 값을 가지며 가까이 갈 때나 마찬가지다. $■$

이것을 조금 더 엄밀하게 보이고 싶다면 아래와 같이 적을 수 있겠다.

$\forall x$에 대하여 $-1\le \sin \frac{1}{x}\le 1$이므로 $x\to 0$일 때, 극한값 $L$이 있다면 $|L|\le 1$이다.

1) $|L|<1$일 때,

이제 $B=min\{1-L,L+1\}$이라고 하자.

$\epsilon =B/2$이면 $|L|+\epsilon <1$이다.

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한편, $\sin \frac{1}{x}=1$이라면 $x=\frac{2}{\pi (4n+1)}$이다.

$\forall \delta >0$에 대하여 $0<\frac{2}{\pi (4n+1)}<\delta$인 $n$이 항상 존재한다.

다시 말하면 $0<|x|<\delta$에는 $\sin \frac{1}{x}=1$인 $x$가 $\delta$에 상관없이 존재한다.

아무리 $\delta$를 작게 잡더라도 $0<|x|<\delta$에는$$|\sin \frac{1}{x}-L|\ge 1-|L|>\epsilon$$인 $x$가 반드시 존재한다.

2) $|L|=1$일 때.

$\sin \frac{1}{x}=0$이라면 $x=\frac{1}{2n\pi }$이다.

$\forall \delta >0$에 대하여 $0<\frac{1}{2n\pi }<\delta$인 $n$이 항상 존재한다.

다시 말하면 $0<|x|<\delta$에는 $\sin \frac{1}{x}=0$인 $x$가 $\delta$에 상관없이 존재한다.

따라서 $\epsilon =1/2$이라고 하면 정의를 만족하는 $\delta >0$를 잡을 수 없다.

1) 2)에 따라 극한값이 존재하지 않는다.

[출처] https://suhak.tistory.com/758