피에르 아고스티니, 페렌츠 크라우스, 앤 륄리에 교수 (왼쪽부터). 위키미디어 제공.

2023년 노벨 물리학상은 극한 과학에서 한계까지 짧은 시간을 포착하는 ‘아토초 과학’ 시대를 열어낸 물리학자 3명에게 돌아갔다.

스웨덴 왕립과학원 노벨위원회는 피에르 아고스티니(82) 미국 오하이오주립대 교수, 페렌츠 크라우스(61) 독일 뮌헨공대 양자물리학과 교수, 앤 륄리에(65) 스웨덴 룬드대 교수 3명의 과학자를 올해 노벨 물리학상 수상자로 선정했다고 3일(현지 시간) 발표했다.

노벨위원회는 “올해 물리학상 수상자들은 전자동역학 연구에서 활용될 수 있는 아토초(100경분의 1초) 단위의 빛의 파동을 발생시키는 방법을 고안했다”며 “원자와 분자 내부에서 벌어지는 전자의 세계를 탐험할 수 있는 새로운 도구를 인류에게 제공했다“고 설명했다.

이들이 구현한 ‘극한으로 짧은 빛의 파동’은 전자가 움직이거나 에너지를 변화시키는 한순간을 포착하는 방법을 제시한 것으로 평가된다.

전자의 세계에서 사건은 수십, 수백 분의 1초에 불과한 매우 짧은 시간에 일어난다. 너무 빠른 속도이기 때문에 인간은 인지하기 어렵다. 초당 80회의 날갯짓을 하는 벌새의 움직임도 따라가지 못하는 인간의 인지 능력으로는 전자의 세계를 탐험하는 것이 불가능해 보였다.

수상자들은 너무나도 빠른 전자의 세계를 포착하기 위해 아주 짧은 순간 존재하는 빛의 파동을 고안해냈다. 벌새의 날갯짓을 촬영하는 고성능 사진기에서 아주 짧은 시간 빛의 노출이 이뤄지는 것처럼, 전자의 움직임을 포착하기 위해 전자의 속도를 뛰어넘는 빛의 파동을 만든 것이다. 이렇게 만들어진 빛의 파동은 원자와 분자 내부에서 일어나는 전자의 활동을 ‘순간포착’할 수 있게 했다.

앤 륄리에 교수는 1987년 적외선 레이저 빛을 불활성 기체에 투과시킬 때 다양한 빛의 광파(overtones)가 발생한다는 것을 발견했다. 이 광파는 레이저 빔이 기체 안의 원자들과 부딪칠 때 일정한 주기를 갖고 발생했는데, 기존 레이저를 사용했을 때보다 더욱 짧으면서도 강한 반응을 보였다. 펨토초 빛의 파동을 구현할 수 있는 재료를 제공한 것이다.

아고스티니 교수는 빛의 파동을 지속할 수 있는 실험에 성공했다. 2001년 실시한 실험에서 250 아토초 동안 빛의 파동을 유지하는 성과를 거뒀다. 헝가리 출신의 과학자인 크라우스 교수는 이보다 한걸음 더 나아가 650아토초 동안 지속되는 빛의 파동을 구현했다. 이를 통해 실제 전자의 움직임을 추적해냈다.

전문가들은 이들의 연구를 통해 ‘아토초 과학’ 시대가 열렸다고 평가했다. 조동현 고려대 물리학과 교수는 ”초고성능 현미경이 개발되면서 인류는 아주 작은 물체를 볼 수 있게 된 공간분해능을 얻게 됐다면, 아토초 빛의 파동은 아주 짧은 시간을 포착할 수 있게 된 ‘시간분해능’을 얻은 것으로 빗댈 수 있다“고 설명했다.

아토초 단위로 존재하는 빛의 파동은 다양한 과학 영역에서 활용될 수 있다. 의료 분야가 대표적이다. 아토초 파동을 활용하면 X-RAY에 DNA가 손상되는 아주 짧은 순간까지 관찰할 수 있다. 반도체 발전에도 기여할 것으로 기대된다. 임현식 동국대 물리반도체과학부 교수는 ”펨토초 수준의 빛의 파동은 반도체에서 발생하는 아주 기민한 메커니즘을 이해하는 데 큰 도움이 될 것“이라고 말했다.

아토초 기술은 물리학적으로도 큰 진전을 이룬 성과로 여겨진다. 남창희 기초과학연구원(IBS) 초강력 레이저과학연구단장은 ”아토초 빛의 파동을 활용하면 지금까진 볼 수 없었던 핵의 운동까지 들여다볼 수 있을 것“이라고 말했다.

올해 노벨상 수상자에겐 2022년보다 약 100만 크로나 증액된 1100만 스웨덴 크로나(한화 약 13억 5894만원)이 수여된다. 이번 물리학상 수상자 3명은 상금을 3분의1씩 나눠갖는다. 올해 노벨 과학상 수상자 발표는 2일 생리의학상, 3일 물리학상, 4일 화학상 순으로 진행된다.

947년 미국 프린스턴 고등연구소에서 오후 차담을 나누는 로버트 오펜하이머(왼쪽)와 폴 디랙(가운데), 에이브라함 페이스(오른쪽). 1928년 디랙은 디랙방정식을 고안해 반물질로 가는 길을 가리켰고 1930년 오펜하이머는 디랙방정식을 해석한 논문에서 반물질의 완전한 비전을 제시했다. 위키피디아 제공

지난달 오랜만에 극장에 가서 영화를 봤다. 미국의 물리학자 로버트 오펜하이머의 전기 ‘아메리칸 프로메테우스’를 원작으로 한 ‘오펜하이머’다.

외모만 보면 전형적인 이론물리학자로 보이는 오펜하이머가 어떻게 원자폭탄 개발을 목표로 한 맨해튼 프로젝트를 이끌어 단기간에 성공시킬 수 있었을까 늘 궁금했는데 영화를 보니 조직력과 추진력이 대단한 인물이었다. 특히 박학다식함을 무기로 각 분야 전문가들 사이의 이견을 조율하고 다독이며 연구를 끌고 나가는 모습이 인상적이었다.

● 반물질의 완전한 비전 제시

1904년 미국 뉴욕에서 태어난 오펜하이머는 하버드대 화학과를 졸업한 뒤 유럽으로 유학을 떠나 당시 막 정립되던 양자역학을 공부하고 1929년 미국 버클리 캘리포니아대에 부임해 미국에 양자역학을 소개한 인물이다.

그러다 1942년 맨해튼 프로젝트를 이끌게 되면서 일찌감치 본인의 연구 활동은 접었다. 프로젝트가 끝난 뒤에도 1947년부터 프린스턴 고등연구소 소장에 부임해 과학행정가의 삶을 이어갔다.

오펜하이머는 베르너 하이젠베르크나 폴 디랙 등 양자역학을 만든 비슷한 나이대의 이론물리학자들과 맞먹는 천재성을 지녔음에도 이들에 버금가는 업적을 내놓지는 못했다. 아이디어는 뛰어남에도 끝까지 파고 들어가는 끈기가 부족했기 때문이다. 그러다 보니 버클리대 교수 시절에도 여기저기 건드리는 분야는 많았지만 대부분 일회성에 그쳤다.

그의 천재성과 기존 지식에 얽매이지 않는 기발함이 돋보이는 예가 바로 디랙방정식을 보고 떠올린 양전자 아이디어다. 1928년 영국의 이론물리학자 폴 디랙은 뛰어난 수학 감각으로 양자역학과 특수상대성이론을 결합한 디랙방정식을 만들어냈는데 그 결론이 뜻밖이었다. 원자 주위를 돌고 있는 전자의 에너지가 양의 값은 물론 음의 값도 나올 수 있었기 때문이다.

디랙방정식 해의 물리적 의미를 고민하던 디랙은 진공을 재해석해 돌파구를 마련했다. 진공은 텅 빈 공간이 아니라 음의 에너지인 전자로 꽉 채워진 상태라고 가정했다. 이때 외부에서 감마선 같은 에너지를 공급하면 양의 에너지가 된 전자가 튀어나오면서 구멍이 생긴다. 구멍은 음의 에너지를 지닌 전자의 부재로서 이는 양의 에너지를 지닌 양전하 입자라는 형태로 나타난다. 결국 감마선 에너지가 둘 다 양의 에너지인 전자와 양전하 입자 쌍으로 바뀐 셈이다.

디랙방정식 자체는 이론물리학자 사이에 엄청난 찬사를 받았음에도 음의 에너지에 대한 해석은 조롱의 대상이었고 결국 디랙은 이듬해 출판한 논문에서 이 양전하 입자가 양성자일지 모른다고 한발 물러섰다. 실제 그렇게 생각해서가 아니라 논쟁을 피하고 싶어서였다.

버클리에서 이 논문을 읽은 오펜하이머는 즉각 문제점을 파악하고 1930년 ‘전자와 양성자 이론에 대하여’라는 논문을 발표했다. 여기서 그는 전자의 쌍이 되는 양전하 입자가 양성자라면 수소 원소는 순간적으로만 존재할 수 있다며(감마선 쌍으로 소멸할 것이므로) 전자와 질량이 같은 미지의 입자가 존재해야 한다고 주장했다.

디랙은 즉시 오펜하이머가 비판하는 바의 중요성을 알아차리고 이듬해 발표한 논문에서 “실험물리학에서 아직 밝혀내지 못한 새로운 종류의 입자로 전자와 동일한 질량과 전하량(절대값)을 지녀 반전자(anti-electron)라고 부를 수 있다”고 썼다. 이어서 “이 대칭성이 정말 자연의 근본 법칙이라면 어떤 종류의 입자라도 전하가 반대인 짝이 있어야 한다”고 덧붙였다.

이렇게 반물질(antimatter) 이론이 정립되고 1년 뒤 미국의 실험물리학자 칼 앤더슨은 우주선(cosmic ray)의 안개상자 궤적을 분석해 반전자를 발견했고 이를 보고한 논문의 학술지 편집자가 반전자 대신 양전자(positron)란 용어를 만들어 썼다.

● 일반상대성이론에 따르면 차이 없어

그렇다면 반물질에 미치는 중력의 영향은 어떨까. 중력은 질량과 관련한 힘이고 반물질은 대응하는 물질과 같은 질량이므로 영향도 같을 것이다.

아인슈타인의 일반상대성 이론에서도 질량이 같은 모든 물체는 내부 구조와 관계없이 무게가 같아야 한다. 반양성자와 양전자로 이뤄진 반원자라도 원자와 정확히 같은 중력가속도가 작용해야만 한다.

그러나 ‘추한 진실이 아름다운 이론을 무너뜨릴 수 있다’고 몇몇 물리학자들은 반물질이 중력을 다르게 느낄 가능성을 제기했다. 우주론의 표준모형에 따르면 오늘날 우리가 알고 있는 물질과 에너지는 우주의 물질/에너지의 5%에 불과하고 나머지는 실체를 모르는 암흑물질(27%)과 암흑에너지(68%)다.

따라서 반물질과 물질이 척력으로서의 중력인 반중력을 띤다면 암흑에너지의 일부를 설명할 수도 있다. 한편 같은 인력이라도 중력가속도가 다르게 작용한다면 빅뱅 직후 엄청난 에너지가 같은 양의 물질과 반물질로 바뀌었음에도 오늘날 물질로 이뤄진 세계가 된 비대칭성을 설명하는 실마리가 될 수도 있다.

스위스 제네바 유럽입자물리연구소(CERN)에 있는장비인 알파 실험 설비로 반수소 생성 및 물리 특성을 실험한다. CERN 제공

● 아래로 떨어지는 반수소

양전자는 물론 반양성자도 어렵지 않게 만들 수 있지만 전하를 띤 반입자는 전자기력에 너무 민감해 물리적 특성을 연구할 수 없다. 따라서 이들이 상호작용해 전기적 중성이 된 반수소 원자를 만들어야 한다.

스위스 제네바에 있는 유럽입자물리연구소(CERN)는 1990년대 반수소 프로젝트를 시작해 2002년 최초로 반수소를 만드는 데 성공했고(아테나 실험) 2010년 반수소가 1000초 동안 소멸되지 않고 유지하는 방법을 개발했다(알파 실험). 영하 266도의 극저온과 진공 환경에서 전기장과 자기장을 교묘히 배치한 용기 안에 반수소를 공중부양시켰다(물질인 벽에 닿으면 소멸하므로).

그 뒤 반수소의 물리적 특성을 측정하는 실험을 진행했고 2016년 반수소의 빛 흡수 스펙트럼 패턴이 수소와 같다는 실험 결과를 얻었다. 이 역시 예상한 결과였지만 실험으로 증명해 불확실성을 없앴다는 게 중요하다.

2018년 연구자들은 미미한 힘인 중력의 영향을 측정하기 위한 정교한 장치를 만드는 실험을 진행했다. 몸무게가 수십㎏인 우리에게는 중력이 엄청난 힘을 발휘하지만, 물체의 질량이 작아질수록 영향도 줄어든다. 하물며 질량이 10의 –27승㎏ 단위인 반수소 원자에게는 더욱 그렇다.

반수소에 미치는 중력의 영향을 측정하는 장치인 알파-g의 모식도로 통로 가운데 포획된 반수소(antihydrogen)가 위와 아래로 빠져나오는 개수를 검출한다. 실험 결과 중력만 있을 때 반수소의 약 72%가 아래로 떨어져 수소와 마찬가지로 중력이 인력으로 작용하는 것으로 밝혀졌다. 네이처 제공

연구자들은 통로가 수직인 용기 안에 양전자와 반양성자로 반수소를 만든 뒤 운동에너지를 최소화하기 위해 절대영도보다 불과 0.5도 높은 영하 272.6도까지 온도를 낮췄다. 그리고 전자기장을 서서히 줄여 반수소에게 자유를 줬다.

만일 중력이 작용하지 않는다면 운동량의 방향에 따라 통로 위나 아래로 빠져나가는 반수소 개수가 비슷할 것이다. 참고로 통로를 벗어난 반수소는 물질로 된 벽에 닿아 소멸하면서 검출돼 존재가 확인된다.

만일 물질(지구)의 질량이 척력인 반중력으로 작용한다면 반수소의 운동량 방향이 위쪽으로 치우치며 통로 위쪽으로 빠져나가는 반수소가 더 많을 것이다. 반대로 인력인 중력으로 작용한다면 운동량의 방향이 아래쪽으로 치우치며 통로 아래쪽으로 빠져나가는 반수소가 더 많을 것이다.

실제 실험 결과 용기 내 반수소의 72%가 통로 아래쪽으로 빠져나갔고 28%가 위쪽으로 빠져나갔다. 반수소 역시 수소처럼 중력이 인력으로 작용했다는 말이다. 한편 반수소가 중력을 인력으로 느낀다고 할 때 시뮬레이션 결과는 약 80% 정도가 아래쪽으로 빠져나가는 걸로 나와 약간 차이를 보였다.

다만 실험 조건이 아주 정밀하지 않아 정말 차이가 있는 것인지 단순히 실험 오차인지는 아직 언급할 단계가 아니다. 아무튼 이번 실험으로 반물질과 물질 사이에 반중력이 작용해 서로 밀쳐낸다는 가설은 폐기됐다.

1925년 21세의 오펜하이머는 하버드대를 졸업하고 대서양을 건너 영국 케임브리지 캐번디시연구소의 패트릭 블래킷 교수를 지도교수로 대학원 과정을 시작했다. 그러나 실험에 서툴렀고 향수병에 시달리며 정신이 이상해져 사과에 독을 묻혀 블래킷의 책상에 올려두는 충동 범죄를 저질렀다.

다행히 블랫킷은 사과를 먹지 않았지만, 살인 미수 사건은 대학 당국에 알려졌다. 그러나 마침 그곳에 머물렀던 부유한 아버지의 로비 덕분에 형사 처벌과 퇴학을 면했다. 영화 ‘오펜하이머’도 이 장면을 각색해 그리고 있다.

이듬해 양자역학 논문을 읽고 흥미를 느낀 오펜하이머는 여름에 케임브리지에서 학위를 받게 될 두 살 연상의 디랙을 만났다. 그는 디랙의 작업에 대해 “이해하기 쉽지 않았다”면서도 “나는 그가 훌륭하다고 생각했다”라고 말했다. 오펜하이머는 실험과 결별하기로 하고 양자역학의 산실인 독일 괴팅겐의 막스 보른 교수팀으로 옮겨 이듬해 박사학위를 받았다.

이처럼 실험에 서툴렀던 오펜하이머가 수많은 실험물리학자와 공학자들을 지휘하며 맨해튼 프로젝트를 성공으로 이끌었다니 놀라운 일이다. 반수소를 만들고 물리 특성을 연구하는 알파 실험에는 현재 7개국 14개 기관이 참여하고 있다. 만일 오펜하이머가 반수소 프로젝트를 맡았더라도 거뜬히 해내지 않았을까.

※ 필자소개
강석기 과학칼럼니스트 (kangsukki@gmail.com). LG생활건강연구소에서 연구원으로 근무했고 2000년부터 2012년까지 동아사이언스에서 기자로 일했다. 2012년 9월부터 프리랜서 작가로 활동하고 있다. 직접 쓴 책으로 《강석기의 과학카페》(1~7권),《생명과학의 기원을 찾아서》가 있다. 번역서로는 《반물질》, 《가슴이야기》, 《프루프: 술의 과학》을 썼다.

K2-18b 행성의 모습. 사진출처 위키미디어.

천문학자들은 향후 몇 년 내에 지구 먼 곳에서 생명 징후를 발견할 수 있을 것으로 보고 있다. 생명 존재 가능성을 감지할 수 있는 기술적 발전을 이뤘다는 설명이다.

무수히 많은 별과 행성이 존재하는 우주에서 인간이 유일한 지적 생명체일 가능성은 낮다고 과학자들은 판단하고 있다. 과학자들이 현재 관심을 두고 있는 것은 우주 생명체의 존재 여부가 아니라, 우주 생명체를 언제 발견할 수 있을까다.

미국 항공우주국(NASA)의 제임스웹 우주망원경이 태양계 바깥 행성에서 생명체 존재 가능성을 암시하는 신호를 이미 감지했다. 망원경은 지구에서 멀리 떨어진 별의 주위를 도는 행성들의 대기를 분석할 수 있다. 이는 지구에서 살아있는 유기체만 생성하는 화학물질을 찾는 수단이 된다.

지난달 초 실질적으로 120광년 떨어진 K2-18b 행성의 대기에서 지구에서 해양 생물에 의해서만 생성되는 가스 신호가 감지됐다. 디메틸황화물 분자가 있을 잠재적 가능성이 확인된 것이다. 향후 1년 내에 이에 대한 명확한 결론이 날 예정이다.

이 행성은 천문학자들이 ‘골디락스’라고 부르는 영역에 위치해 있는데 골디락스는 ‘표면이 뜨겁지도 차갑지도 않은 상태’를 의미한다. 생명체 탄생과 유지를 위해 중요한 물이 액체 상태로 존재하기 위한 조건이 형성된 곳이다.

만약 이 행성에서 디메틸황화물 분자가 존재한다는 점이 증명된다면 이는 우주에 생명체가 흔하게 존재할 가능성을 크게 높이게 된다. 니쿠 마두수단 케임브리지대 천문학과 교수는 1일 BBC를 통해 “5년 안에 우주 생명체에 대한 우리의 이해에 ‘큰 변화’가 생길 것”이라고 예측했다.

K2-18b에서 생명 흔적을 발견하지 못했을 때는 골디락스에 있는 행성 10개가 연구 목록에 추가될 예정이다.

먼 우주뿐 아니라, 태양계 내 연구도 지속될 예정이다. 생명체 존재 가능성이 높은 목성의 위성 중 하나인 유로파 연구를 위해 나사의 우주탐사선인 클리퍼와 유럽우주국의 탐사선이 2030년대에 이곳에 도착할 예정이다. 과학자들은 목성의 얼음 위성 중 한 곳에 생명체가 없다면 오히려 놀라운 일일 것으로 평가하고 있다.

다만 현재 연구가 가진 한계도 존재한다. K2-18b는 지구의 8배 크기로, 지구처럼 작은 행성이 먼 거리에 있을 땐 그 대기를 감지할 수 없다. 태양의 밝은 빛도 관측을 방해하는 요인이 되고 있다. 이에 나사는 2030년대 발사 예정인 차세대 우주망원경 HWO에 햇빛 가리개를 더해 행성의 대기 발견 가능성을 높일 계획이다.

수학자 이승재 인천대 수학과 교수(왼쪽), 인문학자 이은수 서울대 철학과 교수(오른쪽). 수학동아 제공

현대 문명의 근간이라고 불리는 미적분은 무선통신 기기 설계, 로켓 발사, 인공지능, 감염병 예측 등 다양한 곳에서 활용된다.

그중 미분은 변화하는 양을 이해하고 표현하기 위해 만들어졌다. 세상의 모든 것이 시간이 흐르면서 변화하므로 이를 연구하기 위해서는 미분이 꼭 필요하다.

Q(인문학자). 미분의 정의부터 알아보면 좋을 것 같아요. 미분이 뭔가요.

A(수학자). “미분은 쉽게 말해 ‘미세한 부분’을 뜻해요. 영어로는 차이라는 의미의 ‘differential’이지요. 미세한 변화를 연구하는 분야가 미분이에요. 이렇게 이야기하는 동안에도 시간은 계속 흐르고 지구가 태양 주위를 공전하며 사람은 어디론가 이동해요.

그게 아니어도 나이나 몸무게 등 우리의 모든 것이 변화해요. 이렇게 변화하는 세상을 이해하려면 특정 값 자체보다는 특정 시간 동안 어떻게 변했는지에 더 관심을 가져야 해요. 이를 위해 만들어진 학문이 미분학이에요.”

Q(인문학자). 변화는 아무래도 수학보다 물리학에서 더 많이 이야기할 것 같은데요.

A(수학자). “미분은 태생적으로 물리와 함께 발전해왔어요. 물리학은 세상을 이해하고 연구하는 학문이에요. 세상에 많은 것이 변화하므로 이 움직임을 이해하고 설명하기 위한 도구를 발전시키면서 미분이라는 개념이 탄생했지요.

쉬운 예를 들어볼게요. 속력은 (거리시간)으로 계산하는데요. 기준 시간 동안 어떤 물체의 위치가 변화하는 거리가 속력입니다. 시속 5km라는 것은 다시 말해 1시간 동안 5km를 이동한다는 거지요.

하지만 사람은 일정한 속력으로 이동할 수 없으니 속력이 미세하게 계속 바뀌어요. 따라서 평균 속도가 아니라 특정 시점에서의 순간 속력을 알기 위해서는 1시간이 아니라 1분, 1초보다 더 작은 시간 동안 이동한 거리를 측정해야 해요.”

수학동아 제공

Q(인문학자). 물리학의 기본적인 개념인 속력을 이해하는 데도 미분이 필요하군요. 흔히 미적분학을 배우기 전에 물리학을 공부하면 어렵다고 하는데 이 말이 이해되네요. 이런 미분에 대한 일반적인 개념이 수학에서는 어떻게 발전했나요.

A(수학자). “미분은 태생적으로 물리와 함께 발전해왔어요. 물리학은 세상을 이해하고 연구하는 학문이에요. 세상에 많은 것이 변화하므로 이 움직임을 이해하고 설명하기 위한 도구를 발전시키면서 미분이라는 개념이 탄생했지요.

쉬운 예를 들어볼게요. 속력은 (거리÷시간)으로 계산하는데요. 기준 시간 동안 어떤 물체의 위치가 변화하는 거리가 속력입니다. 시속 5km라는 것은 다시 말해 1시간 동안 5km를 이동한다는 거지요. 하지만 사람은 일정한 속력으로 이동할 수 없으니 속력이 미세하게 계속 바뀌어요.

따라서 평균 속도가 아니라 특정 시점에서의 순간 속력을 알기 위해서는 1시간이 아니라 1분, 1초보다 더 작은 시간 동안 이동한 거리를 측정해야 해요.

이때 시간의 변화량을 무한히 줄이면 우리가 원하는 순간 속력에 가까워집니다. 이 미세한 변화를 찾아내기 위해서 미분이 등장했지요.”

수학동아 제공

인문학자 이은수 서울대 철학과 교수 (왼쪽), 수학자 이승재 인천대 수학과 교수(오른쪽). 수학동아 제공

Q(수학자). 미분에 관한 관심은 어떻게 시작됐나요.

A(인문학자). “이승재 교수님께서 설명해주셨듯이 미분은 함수의 특정 위치에서의 접선의 기울기를 의미합니다. 그런데 이것을 어떻게 구할지 관심을 가진 건 16, 17세기예요. 대표적인 인물로 프랑스 수학자 피에르 드 페르마(1607~1665)가 있지요.

페르마는 처음에 ‘극점’을 어떻게 찾을까에 관심을 가졌습니다. 극점에는 함수가 증가하다가 감소하는 ‘극대점’과 감소하다가 증가하는 ‘극소점’이 있어요. 이런 극점에서 접선을 찾으면 그 접선이 x축과 평행한 직선이 돼요.

극대점과 극소점의 탐구. 페르마의 전집 3권

페르마는 극점 근처에서는 함수의 변화 속도가 점점 더 느려진다는 것에 주목했어요. 그래서 ‘만약 x가 갖는 함숫값 f(x)와 x와 조금 떨어진 x + h의 함숫값 f(x + h)가 거의 같아진다면 그것이 바로 극점이지 않을까’라고 기대했지요.

이를 통해 {f(x + h) – f(xh가 0이 되는 극점을 찾았어요. 다시 말해 f'(x) = 0이 되는 x값을 찾으려 한 것이 오늘날 미분계수와 접선의 기울기 연구에 관한 시초라고 볼 수 있습니다.

페르마의 접근은 미분계수에 대한 아이디어를 담고 있으면서도 대수적인 계산을 동원했다는 특징이 있어요. 프랑스 수학자 르네 데카르트(1596~1650)는 이 대수적인 계산 요소를 더 많이 활용하면서 극점이 아니라 일반적인 지점에서 함수 그래프의 접선을 찾는 방법을 연구했습니다.

데카르트는 함수 그래프의 한 점에서 접선을 긋고 이와 수직한 법선을 긋습니다. 그런 뒤 이 법선이 x축과 만나는 x절편을 원의 중심으로 놓고 x절편과 접점까지의 거리를 반지름(r)으로 하는 원을 그려요. 원과 함수는 오직 한 점에서만 만나게 되지요.

따라서 원의 방정식과 함수식을 연립하면 이 방정식은 중근을 가져야 합니다. 데카르트는 이 작업을 통해서 접점을 찾고 법선의 기울기를 구한 뒤 법선과 수직인 접선의 기울기를 얻었지요.”

수학동아 제공

미적분학의 창시자로 불리는 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠. 위키미디어 제공

Q(수학자). 수학사를 이야기할 때마다 아르키메데스, 페르마, 데카르트가 자주 등장하는데 미분에서도 등장하는 걸 보면 이분들이 정립하고 만든 수학이 정말 대단합니다.

그렇지만 미적분을 이야기하면서 영국의 물리학자이자 수학자인 아이작 뉴턴(1643~1727)과 독일 수학자 고트프리트 라이프니츠(1646~1716)를 빼놓을 수 없을 텐데요. 페르마와 데카르트 이후에 뉴턴과 라이프니츠가 어떻게 미적분을 확립하고 발전시켰나요.

A(인문학자). “둘은 그전까지 발견된 수학을 종합해서 발전시켜 미적분학을 꽃피우게 했습니다. 그런데도 뉴턴과 라이프니츠가 미적분학의 창시자라고 불리는 이유는 미적분학을 이용해서 물체의 운동을 기술했기 때문이에요.

당시에는 물리학의 적용 분야라고도 할 수 있는 천문학에서 천체의 운동을 기술하기 위한 계산 도구가 필요했어요. 뉴턴은 수학적 도구를 총동원해서 지금까지 흩어졌던 아이디어들을 한데 모아서 미적분학을 집대성했어요.

그 결과가 1687년에 간행된 총 3권으로 이뤄진 ‘자연철학의 수학적 원리(프린키피아)’이지요. 라이프니츠는 뉴턴과 별개로 여러 서신에 미분학적 연구를 진행했는데 수학자들과 주고받은 초고들이 남아있습니다.”