2019년 인류 최초로 관측한 M87 블랙홀. EHT 제공

국내 연구팀이 참여한 국제 공동 연구팀이 M87 블랙홀 제트의 자기장 강도를 추정하는 데 성공했다.

한국천문연구원(천문연)은 천문연이 참여한 국제 공동 연구팀이 M87 블랙홀로부터 멀리 떨어진 제트의 자기장 정도를 최초로 추정해 학술지 ‘천문학 및 천체물리학’에 5월 24일 게재했다고 30일 밝혔다.

M87은 지난 2019년 사건지평선망원경(EHT)으로 인류 사상 최초로 관측한 블랙홀이다. 천문학계는 블랙홀로부터 방출되는 제트(JET)의 형성에 자기장이 큰 영향을 미칠 것이라 추측했다. 제트는 블랙홀이 주변의 강력한 자기장, 부착원반과 상호 작용하며 방출될 것으로 추측되는 기체·액체의 빠른 흐름을 말한다.

지금까지 제트의 자기장 강도는 제트의 밀도가 높은 블랙홀 근처에서만 제한적으로 추정 가능했다. 연구팀은 이번 연구를 위해 한일공동 우주전파관측망(KaVA)을 활용했다. KaVa는 한국 천문연의 한국우주전파관측망(KVN)과 일본국립천문대 일본우주전파관측망(VERA Array)이 공동으로 운영하는 전파망원경 7개로 구성된 우주전파관측망이다.

연구팀은 제트가 방출되는 과정에서 제트 내의 플라즈마가 냉각되는 ‘싱크로트론 복사냉각 현상’을 분석해 자기장 강도를 추정했다. 복사냉각은 자기장 강도의 제곱에 반비례한다. 서로 다른 주파수대(22GHz, 43GHz)에서 관측한 복사냉각 분포를 분석하면 자기장의 강도를 추정할 수 있다.

그 결과 블랙홀로부터 약 2~10광년 떨어진 거리에서의 제트 자기장 강도가 0.3~1가우스(Gauss)인 것으로 추정했다. 약 0.2~0.65가우스인 지구 자기장과 비교해보면, 자기장이 블랙홀 중심부에서부터 약 10광년 거리까지 방출되는 동안에도 외부 요인에 의해 크게 소실되지 않았음을 의미한다.

연구에 참여한 노현욱 박사후연구원은 “향후 제트 자기장의 전반적인 분포를 파악하고 기존 제트 이론 연구와 비교해 제트 형성 기작을 검증해나갈 것”이라고 밝혔다.

삼각격자 구조 물질에서 양자 상태가 구현된다는 점이 입증됐다. 게티이미지뱅크 제공.

국내 연구진이 세계 최초로 기존의 벌집 구조가 아닌 삼각격자 구조 물질에서 새로운 양자상태를 발견하는 데 성공했다.

과학기술정보통신부(과기정통부)는 박제근 서울대 물리학과 교수와 김성진 이화여대 화학생명분자과학부 교수가 이끈 연구팀이 삼각격자 구조 자성 반데르발스 물질에서 새로운 양자상태를 발견해 학술지 ‘네이처 피직스’에 29일 발표했다고 밝혔다.

연구팀은 벌집 구조를 가진 물질에서 나타나는 양자 현상인 ‘키타예프 모델’이 삼각격자 구조를 가진 물질에서도 나타날 수 있음을 밝혔다. 이론적으로는 알려진 사실이지만, 실제로 구현된 적은 지금까지 없었다.

키타예프 모델은 오류가 없는 양자컴퓨터를 구현할 수 있는 양자상태를 가진다. 수많은 국내외 연구진이 키타예프 모델을 구현하는 데 관심을 갖고 연구를 지속하는 이유다.

연구팀은 자성 물질에 대해 연구하던 중, 기존 연구에 사용하던 물질인 니켈(Ni)을 코발트(Co)로 치환할 경우 키타예프 모델이 구현될 수 있는 여러 가지 조건을 만족한다는 사실을 알아냈다.

연구팀이 사용한 아이오딘화 코발트(CoI2)는 반데르발스 물질이다. 반데르발스 물질이란 두 비극성 분자가 서로 가까워지다가 달라붙는 반데르발스 결합으로 이뤄져 있는 물질을 말한다. 약한 반데스발스 결합으로 이뤄지 물질은 2차원 상태의 얇은 층으로 분리할 수 있다.

연구팀은 일본 J-PARC 중성자 시설에서 CoI2의 비탄성 중성자 산란 실험을 진행했다. 중성자를 CoI2에 입사한 후 CoI2와 중성자 간의 비탄성 충돌을 관측해 물질의 격자와 스핀파(spin wave) 등을 측정한 것이다. 스핀파의 운동량-에너지 관계를 측정하면 자성체의 상호작용에 대해 밝혀낼 수 있다. 이를 통해 연구팀은 2차원 삼각격자에서 키타예프 모델이 구현됨을 알아냈다.

양자 컴퓨터에 활용할 수 있는 키타예프 모델을 2차원 자성 반데르발스 삼각격자 물질에서도 구현할 수 있음을 밝혀낸 건 이번이 처음이다. 박 교수는 “2차원 물질에서 양자 얽힘이 있는 양자 상태를 발견한 것은 매우 중요한 연구 성과”라고 의의를 밝혔다. 이번 연구는 과기정통부 기초연구사업 지원으로 수행됐다.

주사전자현미경으로 촬영한 맥신. 미국 시카고대 제공

‘꿈의 신소재’로 불리는 나노물질 맥신(MXene)에 대한 관심이 과학기술계 안팎에서 커지고 있다. 높은 전기전도성을 갖추고 여러 금속화합물과 조합할 수 있는 맥신은 반도체, 전자기기, 센서 등 다양한 산업에서 활용될 것으로 기대된다. 특히 최근 국내 연구진이 맥신 대량 생산을 가능하게 할 수 있는 물성 예측 및 분류 시스템을 구축해 상용화 가능성에 대한 기대감이 커지면서 관심은 고조되고 있다. 맥신 생산 기술 발전과 함께 이를 활용할 수 있는 방안에 대한 연구결과도 속속 나오고 있다.

● 친환경 코팅 소재에 전기차 배터리까지 영역 확장
29일 과학계에 따르면 지안홍 마 중국 산시대 교수 연구팀은 맥신에 초음파 처리를 거쳐 광열 내구성 효율과 항균 효과를 높인 가죽 코팅제를 개발한 연구 결과를 국제학술지 ‘엔지니어링’에 21일(현지시간) 발표했다.

맥신은 금속층과 탄소층이 교대로 쌓인 2차원 나노물질로 표면에 덮인 분자 종류와 양에 따라 성질이 달라진다. 지안홍 마 중국 산시대 교수 연구팀은 이러한 특징에 주목해 맥신과 가죽을 활용해 친환경적인 재료 개발에 성공했다. 연구팀은 맥신 표면에 초음파 처리를 거쳐 빛과 박테리아에 대한 내구도를 극대화했다. 그런 뒤 2가지 성질에 친화성을 갖는다는 의미인 ‘양친매성’을 강화해 빛과 박테리아가 맥신 코팅제에 몰리도록 했다. 연구팀은 “이번에 개발된 코팅제는 석유 기반 화학 제품의 대안으로 가죽· 종이·건축 등 다양한 산업 분야에서 쓰일 것으로 전망된다”며  “ 바이오 기반 나노복합코팅 개발에 새롭고 지속 가능한 접근 방법을 제공했다”고 말했다.

맥신은 전기차·에너지저장장치(ESS) 등 수요가 커지는 배터리 분야에서도 활용될 가능성이 제기된다. 후샴 알샤리프 사우디아라비아 킹압둘라 과학기술대(KAUST) 연구팀은 맥신을 활용한 대체 전극재를 사용해 배터리의 성능을 개선할 수 있다는 내용의 연구결과를 지난 5월 국제학술지 ‘스몰’에 발표했다. 연구팀은 연구결과가 차세대 배터리에 들어갈 음극 소재를 합성하는 데 도움이 될 것으로 보고 있다.

이를 위해 레이저 미세 가공 기술로 맥신 입자 내부에 ‘나노도트’라는 층을 생성해 배터리 방전 후 성능이 저하되는 단점을 보완했다. 실험 결과 나노도트가 적용된 맥신으로 전극재를 만든 리튬이온 배터리는 그렇지 않은 맥신 활용 배터리보다 전기 저장 용량이 4배나 큰 것으로 나타났다. 기존의 흑연 기반 배터리와 달리 나트륨이나 칼륨과의 융합도 가능하다는 특성도 확인됐다.

● 대량생산 가능성 알려지며 관심 급증…전문가들 “과도한 관심은 경계”

산업계에서 맥신이 다방면으로 활용되기 위해선 대량생산이 숙제로 남아있다. 이승철 한국과학기술연구원(KIST) 책임연구원 연구팀은 맥신 대량생산 가능성을 제시한 연구 결과를 최근 국제학술지 ‘ACS 나노’에 게재했다.

맥신 표면에 덮인 분자가 불소일 경우 맥신의 전기전도성이 낮아져 전자파 차폐 효율이 떨어지지만 표면 두께가 1nm(나노미터·10억분의 1m)에 불과해 여기에 붙은 분자를 분석하려면 고성능 전자현미경으로도 수일이 소요된다. 이로 인해 지금까지 대량생산이 불가능했다. 연구팀은 표면에 붙은 분자에 따라 전기전도도 또는 자기적 특성이 달라질 것이라는 점에 착안해 2차원 소재의 물성 예측 프로그램을 개발했다. 그 결과 맥신의 자기수송 특성을 계산해 다른 추가 장치 없이도 대기압과 상온에서 맥신 표면에 흡착된 분자의 종류와 양을 분석하는 데 성공했다.

일각에서는 최근 맥신에 대해 지나치게 과열된 관심은 경계해야 한다는 지적도 나온다. 맥신의 다양한 활용법을 확인한 연구 결과들이 나오고 있지만 아직 실험실에서 가능성을 확인한 수준으로 상용화까지는 갈 길이 멀다는 이야기다. 이승철 KIST 책임연구원은 “맥신은 그래핀보다도 얇은 2차원 소재이면서 여러 특성을 나타낸다는 점에서 각광받는 소재 중 하나”라며 “아직 관련 연구가 막 움튼 단계인데 과도하게 큰 관심이 집중되는 것 같아 우려되기도 한다”고 말했다. 맥신에 대해 지나치게 과장된 기대감은 연구자들에게 부담이 되며 또 무리한 연구로 이어질 수도 있다는 것이다. 맥신의 향후 상용화 전망에 대해 그는 “현재 학계에선 맥신을 안정적으로 재현하면서 대규모 생산을 가능하게 하는 연구가 진행 중이다”라며 “상용화 논의는 대규모 생산 기술이 검증된 이후의 이야기”라고 강조했다.

씨즈 유튜브 영상

우리에겐 나라를 되찾은 광복절이며 일본에겐 항복을 선언한 날인 8월 15일, 영화 ‘오펜하이머’가 한국에서 개봉했다. 영화는 일본이 항복하기 직전 히로시마와 나가사키에 각각 떨어진 핵폭탄 개발 뒷이야기들 다뤘다. 영화 주인공인 미국 핵물리학자 J. 로버트 오펜하이머는 미국의 핵폭탄 개발 프로젝트인 ‘맨해튼 계획’ 중 핵심 연구소였던 로스앨러모스 연구소의 총 책임자였다.

핵폭탄 개발을 이끈 오펜하이머는 일본에 핵폭탄이 떨어진 이후 핵무기를 더 세게, 더 많이 만드는 길에 들어서길 반대했다. 씨즈의 이번 영상은 오펜하이머의 바람이 구체적으로 어떤 것이었고 실제로 얼마나 이뤘졌는지, 또 앞으로는 얼마나 이뤄질지를 다뤘다.

실제 오펜하이머(왼쪽)와 영화 속 오펜하이머(오른쪽, 킬리언 머피)를 보여주는 씨즈 영상 갈무리. US Army Corps of engineers/Wikimedia commons, Universal Pictures 제공

●국제 핵통제 꿈꿨던 물리학자들

1945년 7월 16일 미국 뉴멕시코주에서 세계 최초 핵실험 ‘트리니티’가 성공했을 때 과학자들은 동그란 화구와 거대한 버섯구름을 목격했다. 화구는 폭발이 만든 열로 모든 것을 태워 내부가 거의 진공이었는데 그 지름이 400~500m에 달했다.

뒤이어 기화된 물질들은 하늘 위로 올라가 높이 12km의 버섯구름을 만들었다. 폭발력이 만든 충격파는 실험장에서 170km 떨어진 곳까지 느껴졌다. 서울에서 폭탄을 터뜨렸다면 대전 너머까지 충격파가 전해졌다는 뜻이다.

이토록 큰 폭발력을 목격한 것은 인류에게 처음이었다. 핵폭탄은 이전에 사용되던 폭탄보다 수천 배 이상의 힘을 보였다. 트리니티 실험이 성공한 직후 실험 총책임자였던 케네스 베인브리지는 오펜하이머에게 “이제 우리는 전부 개자식들이야(Now we are all sons of bitches)”라고 말했다. 베인브리지는 훗날 ‘핵 과학자 회보(Bulletin of the Atomic Scientists)’ 1975년 판에 쓴 글에서 “오펜하이머는 그 말이 실험하고 나온 말 중 최고였다고 했다”고 썼다.

트리니티 실험의 화구를 보여주는 씨즈 유튜브 영상 갈무리. 유튜브 채널 ‘씨즈’, Us Govt. Defense Threat Reduction Agency, Wikimedia Commons 제공

1945년 11월 로스앨러모스 연구소의 과학자들은 핵폭탄의 재료를 만들었던 오크리지 국립연구소의 과학자들과 함께 ‘핵과학자협회’라는 이름의 단체를 하나 만들었다. 핵폭탄 ‘리틀보이’와 ‘팻맨’이 일본 히로시마와 나가사키에 떨어지고 3개월이 지난 뒤였다.

훗날 ‘미국과학자협회’라고 이름을 바꾼 이 단체의 목표는 국제사회가 핵을 통제하도록 만드는 것이었다. 성명서에는 “핵에너지에 대한 국제적 협력과 통제 시스템을 만들도록 요구하는 편지를 국회의원과 대통령에게 쓴다”는 구체적인 행동 지침을 적었다.

‘핵에 대한 국제 통제’는 전 세계가 핵무기를 개발하는 군비 경쟁을 할 것이란 두려움에서 나온 것이었다. 당시 많은 물리학자들이 이런 두려움을 공유했다. 오펜하이머를 포함한 물리학자들은 핵에 대한 국제 통제가 필요함을 여러 차례 주장했다.

나치가 핵폭탄을 먼저 개발할 것을 걱정해 루스벨트 대통령에게 핵폭탄 개발을 제안한 앨버트 알베르트 아인슈타인과 실라르드 레오, “대량 살상 무기를 만드는 것으로 물리학의 정점 300년을 찍고 싶지 않다”며 맨해튼 계획에 참여하길 거부했던 오펜하이머의 친구 이지도어 라비가 대표적이다.

영화의 원작이자 오펜하이머 평전인 ‘아메리칸 프로메테우스’는 이 요구의 본격적인 시작을 덴마크의 핵물리학자 닐스 보어에게서 찾는다. 양자역학 발전을 이끈 주역으로서 물리학자들 사이에서 큰 존경을 받던 보어는 핵폭탄 개발 연구가 한창인 1944년 오펜하이머에게 편지를 썼다.

보어는 “유례없는 무기가 만들어져 전쟁의 성격을 완전히 뒤바꿀 것”이라며 “우리가 빠른 시일 내에 이 새로운 물질을 어떻게 통제할 것인지 합의하지 못하면 그로 인해 얻는 일시적 이익보다 그것 때문에 인류가 받는 영구적인 생존의 위협이 훨씬 커질 것”이라고 썼다. 이런 생존의 위협을 완화하기 위해서는 핵에 대한 국제 통제 체제가 필요함을 주장했던 것이다.

● 현실이 된 우려, 군비경쟁

군비경쟁은 머지않아 현실이 됐다. 소련은 트리니티 실험이 이뤄지고 4년이 지난 1949년 8월 핵폭탄 실험에 성공했다. 이후 오펜하이머가 세상을 떠난 1967년보다도 19년이 지난 1986년까지 전 세계 핵무기 개수는 늘기만 했다.

핵 통제를 주장했던 미국과학자협회(FAS)는 1945년부터 지금까지 전 세계 핵무기 현황을 파악하고 있는데 이들에 따르면 1986년까지 핵무기는 7만 374개에 이르렀다. 이중 소련의 핵무기는 4만 159개, 미국의 핵무기는 2만 3317개로 전체의 90% 이상을 차지했다.

FAS의 전 세계 핵무기 수 데이터를 보여주는 씨즈 유튜브 영상 갈무리.

이런 군비 경쟁에 대해 한용섭 국방대 명예교수는 “매우 비이성적이고 비합리적인 결과”라며 “군비 경쟁이 시작되며 안보 딜레마에 빠진 것”이라고 말했다. 안보 딜레마란 각 국가는 자기 안보를 위해서 합리적인 결정을 내려 핵무기 수를 늘리지만 그 결과는 오히려 안보 불안이 심해지는 현상을 설명하는 국제정치학적 개념이다.

핵무기 개발 경쟁이 이뤄지는 동안 핵실험도 잦았다. 1999년 이후로는 북한만 핵실험을 하고 있지만 핵실험이 가장 많이 이뤄진 1962년에는 한 해에만 핵실험이 140번 이뤄졌다. 한 달에 10번이 넘게 지구 어딘가에서 핵폭탄이 터지고 있었던 것이다.

그 대부분은 미국과 소련의 것이었다. 두 나라는 지금까지 핵실험을 지상만이 아니라 지하, 물속, 심지어 우주에서도 진행했고 그 횟수는 1700번이 넘는다. 이춘근 과학기술정책연구원 명예연구위원은 “우주에서 핵실험을 한 이유는 우주를 통과해 날아오는 ICBM(대륙간탄도미사일)을 핵폭탄으로 격추하기 위함이었다”고 설명했다.

핵실험은 지구와 인류에도 고통을 줬다. 지상에서 핵폭탄이 떠지면 대기권 상층으로 방사성 물질이 퍼져나가 다시 떨어지는데, 이를 ‘낙진’이라 한다. 그런데 낙진에 포함된 방사성 물질 스트론튬-90이 어린이의 치아와 뼈에 쌓이고 있다는 게 1950~1960년대 미국에서 이뤄진 대규모 연구에서 밝혀졌다.

스트론튬-90이 치아와 뼛속의 칼슘을 대체하고 있었던 것이다. 우주에서 터뜨린 핵폭탄은 전자기기를 망가뜨리기도 했다. 1962년 6월 태평양 상공에서 핵폭탄 실험이 이뤄진 직후 하와이에서 가로등이 고장났다. 이는 핵폭발 후 나오는 감마선이 전자기기에 과전류를 일으켜 영구적인 파손을 야기하는 ‘EMP 효과’ 때문이었다.

우주에서 이뤄진 미국의 핵실험 ‘스타피시 프라임’을 소개하는 씨즈 유튜브 영상 갈무리

● 군비통제의 두 열쇠, 약속과 기술

핵무기 군비경쟁의 고삐를 잡는 데는 정치와 과학기술이 모두 필요했다. 1987년 미국과 소련이 중거리 핵무기를 폐기하기로 한 중거리 핵전력 조약(INF)이 체결되면서 전 세계 핵무기 수는 처음으로 감소하기 시작했다. 비핵보유국이 새로 핵무기를 보유하지 말자고 약속한 핵확산금지조약(NPT, 1970년), 지구 전 지역에서 핵실험을 금지하는 포괄적 핵실험 금지 조약(CTBT, 1996년)도 체결됐다.

동시에 비핵보유국이 핵무기를 개발하지 않는지 감시하기 위한 기술과 핵보유국이 실제로 핵무기를 폐기했는지를 검증하기 위한 기술도 개발됐다. 그래도 FAS에 따르면 전 세계에는 핵무기가 1만 2500여개가 남아 있다. 이에 대해 핵무기 폐기 검증 기술을 개발하는 그렉 다나굴리안 MIT 핵과학및공학과 교수는 “핵무기를 만들려는 자와 핵무기를 통제하려는 자의 기술 경쟁”이라고 표현했다.

인문학자 이은수 서울대 철학과 교수 (왼쪽), 수학자 이승재 서울대 박사후연구원 (오른쪽). 수학동아 제공

함수는 어떤 값이 주어지면 그에 대응하는 다른 값이 주어지는 관계다. 함수라는 도구가 생기면서 복잡한 문제를 간단히 표현하고 심지어는 앞으로 벌어질 현상을 예측할 수 있게 됐다. 함수가 어떻게 발전했고 좋은 함수란 어떤 것인지 알아보면 함수가 얼마나 일상생활에서도 중요한지를 알 수 있게 된다.

Q(수학자). 함수는 어떤 역사가 있나요.

A(인문학자). “대응 관계와 함수를 구분해서 답해볼게요. 정해지지 않은 두 양, 즉 두 변수의 대응 관계는 오래전부터 연구됐어요. 고대 천문학에 남아있는 자료 중에는 특정 각도의 사인, 코사인 값 등을 계산해 놓은 표가 있어요. 이 표에는 각도와 계산 값 사이의 대응 관계도 담겨 있지요.

하지만 대응 관계라는 설익은 아이디어가 아니라 함수가 하나의 독립적인 수학적 탐구 대상이 된 건 17, 18세기예요. 프랑스 수학자 르네 데카르트(1596~1650)는 자신의 저서 ‘기하학’에서 임의의 두 양이 어떤 식에 의해서 상호 관계를 맺는 상황을 설명했어요. 말하자면 두 변수의 관계를 생각한 것이지요.

이후에 영국의 물리학자이자 수학자인 아이작 뉴턴(1643~1727)은 저서 ‘유율법’에서 서로 관계를 주고받는 여러 운동학적 변수 중에 다른 변수에 영향을 주는 변수를 ‘독립 변수(quantitas correlata)’, 그에 따라 바뀌는 변수를 ‘종속 변수(quantitas relata)’라는 라틴어로 구분해서 표현했어요.”

Q(수학자). 하지만 아직도 함수라는 단어가 나오지 않았어요. 언제 처음 함수라는 단어가 정의됐나요.

A(인문학자). “좋은 질문이에요. 보통 아이디어는 단어를 정의하기 전부터 존재하지만 특정한 단어로 쓰여야 그 뒤에 본격적인 발전이 일어나요. 17세기 말 독일 수학자 고트프리트 라이프니츠(1646~1716)가 남긴 원고를 보면 라틴어 동사 ‘fungor’에서 파생한 명사 funtio를 써서 대응 관계를 나타냈어요.

fungor는 영어로 말하면 perform으로, 한국어로는 ‘기능하다’라는 의미가 있어요. 그리고 이것의 명사 형태가 functio, 복수가 functiones예요. 영어로 바꾸면 함수를 뜻하는 단어인 function이 되지요.

이후 기하학적인 양 사이의 관계뿐 아니라 일반적인 양 사이에서도 함수 개념이 정립돼요. 대표적으로 1718년 ‘과학아카데미 회고록’에 스위스 수학자 요한 베르누이(1667~1748)가 함수를 새로운 수학적 대상으로서 정의한 구절이 다음과 같이 남아있습니다.”

어떤 양(y)이 특정한 방식(a)에 따라 변하는 양(x)과 변하지 않는 양(b)에 의해 구성되는 것( y = ax + b)을 변화하는 크기의 함수라고 부른다. Memoires de l Academie des Sciences 제공

Q(인문학자). 수학에서는 모순이 없고 명확한 것을 가리켜 ‘well-defined(잘 정의됐다)’라고 해요. 함수 중에서도 잘 정의된 함수 소위 말해 좋은 함수가 있을 것 같아요. 좋은 함수가 되기 위한 조건이 있나요.

A(수학자). “함수는 우리가 이해하고 싶은 현상을 얼마나 잘 표현하고 얼마나 잘 예측하는지가 중요해요. 그러니까 기본적으로 예측이 틀린 함수가 나쁜 함수겠지요. 그렇지만 원하는 현상을 함수가 제대로 설명한다고 좋은 함수라고 단정 짓기는 어려워요. 함수 자체가 얼마나 변수들의 관계를 잘 표현하는지를 보여줄 수 있어야 좋은 함수지요.

아주 쉬운 예를 들어볼게요. 독자에게 ‘수학동아’를 한 권씩 나눠준다고 생각해볼게요. 독자가 1명이라면 1권, 10명이라면 당연히 10권을 나눠주면 될 거예요. n명의 독자가 있다면 n권이 필요하겠지요. 이를 함수로 표현하면 f(n) = n이에요.

단순하다고 생각할 수 있지만 여러 가지 의미로 정말 좋은 함수예요. 일단 n에 독자 수를 대입하면 우리가 원하는 값을 얻을 수 있고 식을 봤을 때 ‘이 식은 일대일대응이구나’, ‘우리는 독자 수만큼 책을 준비하면 되는구나’라고 문제를 온전히 이해할 수 있지요.”

Q(인문학자). 결국 우리가 관심 있는 현상을 표현할 수 있고 식을 이해하는 데에도 문제가 없으면 좋은 함수군요. 그런 좋은 함수를 찾는 게 어렵나요.

A(수학자). “정말 어려운 일이에요. 예를 들어 분할 함수는 자연수 n이 있을 때 이 자연수를 다른 자연수의 합으로 표현하는 방법의 가짓수를 찾는 거예요. n이 1, 2, 3일 땐 다음과 같지요.

수학동아 제공

앞의 규칙을 봤을 때 n = 4이면 4가지라고 예측하기 쉬워요. 그런데 n이 4일 때는 4가지가 아니라 5가지가 나와요. 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 3, 4를 비롯해 2 + 2가 하나 더 있습니다.

문제 자체는 이해하기 쉽지만 어떤 자연수 n을 집어넣었을 때 정확한 결과값을 내놓는 함수를 아직 찾지 못했습니다. 인도 수학자 스리니바사 라마누잔(1887~1920)이 최대한 근삿값을 찾을 수 있는 함수를 발견했지만 너무 복잡해요.

과학 혹은 일상생활에서 쓰는 함수는 많은 경우에 관측을 통해 입력값과 결과값을 보며 둘 사이의 관계를 유추한 것인데요. 이런 추론을 위해선 많은 관측값이 필요하고 아무리 관측값이 많아도 절대 정확성을 보장하지 못한다는 단점이 있어요.

예를 들어 1, 2, 4, 8, 16이라는 수열의 다음 값을 한번 예측해보세요. 아마 많은 사람이 32라고 대답하겠지요. x값이 차례로 1, 2, 3, 4, 5일 때 함수가 2의 거듭제곱인 형태, 즉 f(x) = 2x – 1이라고 생각한 결과예요.

그렇지만 ‘원 위에 x개의 점을 놓고 그 점들 사이에 선을 그었을 때 원을 나눌 수 있는 가장 많은 영역의 수’를 표현한 함수 f(x) = (x3 – 6 x2 + 23x – 18) + 1 역시 x = 1, 2, 3, 4, 5일 때 1, 2, 4, 8, 16이지만 x = 6일 때는 32 대신 31이라는 값을 내놓아요.

그러니 단순히 관측값만 가지고 ‘이 함수가 정말 우리 문제를 잘 표현하는 좋은 함수인가?’를 알기란 쉽지 않습니다. 그래서 많은 연구자가 지금까지도 어떤 현상을 정확히 표현하는 좋은 함수, 정확한 함수를 찾는 일을 하고 있지요.”

수학자 이승재 서울대 박사후연구원 (왼쪽), 인문학자 이은수 서울대 철학과 교수 (오른쪽). 수학동아 제공

Q(인문학자). 좋은 함수를 찾는 게 만만치 않은 일이라면 수학자는 한정된 시간 안에서 더 중요한 일에 집중해야 할 텐데요. 그러면 어떤 함수가 중요한 함수일까요.

A(수학자). “‘중요한 함수’를 정의하는 건 ‘좋은 함수’를 정의하는 것보다 더 어려운 문제예요. 굉장히 주관적일 수 있거든요. 그래도 보편적인 기준을 정하자면 역사적인 의미가 있는 함수, 수학뿐만 아니라 인류 문명의 발전에 기여한 함수, 범용적이고 보편적으로 활용할 수 있는 함수가 중요한 함수이지 않을까 싶습니다.

중고등학교 때 배우는 일차, 이차, 삼차 함수는 결국 직선, 포물선 등과 관련있기 때문에 중요하다고 말할 수 있어요. 삼각함수, 로그함수, 지수함수는 실제 물리적인 현상을 기술하고 우리 생활에서 떼려야 뗄 수 없을 만큼 다양한 곳에서 쓰이기 때문에 너무나 중요하지요.

물리학에도 함수가 중요하게 쓰여요. 대표적으로 뉴턴의 운동 제2법칙인 F = ma는 ‘이동하는 물체의 힘(F)은 그 물체의 질량(m)과 가속도(a)에 비례한다’는 물리 법칙을 표현하는 함수예요. 이 함수를 통해 단순히 가속도가 증가함에 따라 힘이 증가하는 것이 아니라 가속도에 비례한다고 정확히 표현할 수 있게 됐지요.

이런 여러 가지 함수의 중요성과 역사에 관심을 가질 분에게 추천하는 책이 있는데요. 이안 스튜어트 영국 워릭대 수학과 교수가 쓴 ‘세상을 바꾼 17가지 방정식’이라는 책입니다. 중요한 함수들에 대한 수학자들, 혹은 과학자들의 생각을 잘 살펴볼 수 있는 좋은 책 중 하나입니다.”

수학자 이승재 서울대 박사후연구원 (왼쪽), 인문학자 이은수 서울대 철학과 교수 (오른쪽). 수학동아 제공

Q(인문학자). 흔히 사칙연산만 하면 사는 데 아무 지장이 없는데 수학을 왜 이렇게 많이 배우냐고 묻는 사람이 있어요. 하지만 함수는 사칙연산 다음으로 도움되는 개념이에요. 곳곳에서 대응 관계를 파악하려는 노력을 많이 볼 수 있거든요.

예를 들어 사람들이 주식에 투자할 때 과거의 데이터로 이익률을 높이는 특정한 함수를 찾아서 막대한 수익을 얻고자 하지요. 이처럼 수학의 많은 개념 중에서는 우리 생활에서 함수가 차지하는 역할이 상당히 커요.

인문학적 관점에서 함수가 남긴 의미를 이야기해볼게요. 함수를 도입하고 난 뒤 사람들은 특정한 개체 및 단독 개념만 탐구하기보다는 두 개체 및 두 개념 사이의 관계를 본격적으로 탐구하기 시작했어요. 그러면서 지식의 확장이 일어났지요. 전혀 관계가 없어 보이는 것 사이에도 우리가 아직 알지 못하고 규명하지 못한 관계가 있다고 생각하게 된 거예요.

최근 실질적인 가치를 창출하는 스마트 데이터와 관련해 다시 주목받는 지식 그래프(개념, 사물, 사건 등의 개체의 관계를 나타내는 그래프로 정보와 지식을 구조화해 표현하는 방법)는 지식과 지식 사이를 연결한 관계망이에요. 기존에 따로따로 떨어뜨려 놓고 생각했던 지식 사이에서 관계를 찾아 연결하는 말하자면 함수적인 사고를 한 것이지요.

사회가 복잡해질수록 특정 개체에 대한 1차원적인 접근으로는 해결할 수 없는 문제가 너무나 많아요. 그래서 고도화된 관계를 이해할 수 있는 능력 자체가 훨씬 중요해졌지요. 그런 의미에서 함수가 우리의 사유하는 방식 자체에 미친 영향이 크다고 생각해요. 연구원님이 생각하기에 수학, 과학에서 함수는 또 어떤 의미에서 중요한가요.

A(수학자). “함수는 세상을 정말 많이 바꿨고 지금도 계속해서 바꾸고 있어요. 과학에서는 먼저 현상을 관측하고 이를 통해 가설을 세우고 그 가설이 사실인지 검증해요. 이때 함수는 관측, 가설, 결과, 예측 모든 것을 연결해요.

기존에 있었던 값으로부터 어떤 관계가 있을지 예상하기 위해서는 그 관계를 표현할 수 있는 함수가 필요하고 예측이 맞는지 확인하기 위해서는 예측값과 결과값이 모두 있어야 하니까요.

인공지능도 수많은 입력값, 결과값을 함께 학습시키고 그렇게 학습된 인공지능이 정말로 우리가 원하는 예측을 할 수 있는지 보는 게 본질이잖아요. 결국 입력값과 결과값을 연결할 수 있는 함수가 무엇이고 그 함수를 우리가 잘 예측하고 학습할 수 있는지가 중요하지요. 인공지능이 지금 세상을 어떻게 바꾸고 있는지 보는 입장이라면 함수가 세상을 바꿨다고도 얘기할 수 있을 것 같아요.

과학 관점에서 추가로 이야기를 드리면 뉴턴은 F = ma와 같은 함수를 이용해서 고전역학이라는 하나의 물리계를 완성했어요. 특히 뉴턴은 고전역학을 정립한 사람으로도 유명하지만 미분이 처음 등장한 ‘프린키피아’라는 책을 쓴 사람으로도 유명하잖아요.

미적분이 함수와 만나면서부터 실제 물리적인 현상을 기술할 수 있는 엄청난 도구들을 손에 쥐게 됐지요. 그다음부터 정말 새로운 세상을 만들어 갈 수 있었습니다. 이밖에도 다양한 함수가 우리가 알고 싶은 세상을 이해할 수 있게 했지요.”